TRASFORMADAS

Transformadas de Laplace
f(x) = e^(-xt) g(t) dt (Transformada de Laplace)
f(x) = e^(-xt) g(t) d(t) (Transformada de Laplace-Stieltjes)
f2(x) = L{L{g(t)}} = g(t)/(x+t) dt Transformada de Stieltjes

Transformada de Fourier
f(x) = 1/(2) g(t) e^(i tx) dt (Transformada de Fourier)
f(x) = (2/) g(x) cos(xt) dt (Transformada Coseno)
f(x) = (2/) g(x) sin(xt) dt (Transformada Seno)

Tranformada de Serie de Potencias

f(x) = (k=0..) g(k) x^k

LA SERIE FOURIER

La serie de fourier de la función f(x)

a(0) / 2 + (k=1..) (a(k) cos kx + b(k) sin kx)

a(k) = 1/PI f(x) cos kx dx
b(k) = 1/PI f(x) sin kx dx
El residuo de la serie de fourier. Sn(x) = la suma de los primeros n+1 términos a x.
el residuo(n) = f(x) - Sn(x) = 1/PI f(x+t) Dn(t) dt

Sn(x) = 1/PI f(x+t) Dn(t) dt

Dn(x) = Dirichlet kernel = 1/2 + cos x + cos 2x + .. + cos nx = [ sin(n + 1/2)x ] / [ 2sin(x/2) ]
Teorema de Riemann. Si f(x) es continuo a excepción de un número finito de saltos finitos en todos los intervalos finitos pues:
lim(k->) f(t) cos kt dt = lim(k->)f(t) sin kt dt = 0

La serie fourier de la función f(x) en un intervalo arbitrario.

A(0) / 2 + (k=1..) [ A(k) cos (k(PI)x / m) + B(k) (sin k(PI)x / m) ]

a(k) = 1/m f(x) cos (k(PI)x / m) dx
b(k) = 1/m f(x) sin (k(PI)x / m) dx
El Teorema de Parseval. Si f(x) es continuo; f(-PI) = f(PI) pues
1/PI f^2(x) dx = a(0)^2 / 2 + (k=1..) (a(k)^2 + b(k)^2)

La Integral Fourier de la función f(x)

f(x) = ( a(y) cos yx + b(y) sin yx ) dy

a(y) = 1/PI f(t) cos ty dt
b(y) = 1/PI f(t) sin ty dt
f(x) = 1/PI dy f(t) cos (y(x-t)) dt
Casos Espaciales de la Integral Fourier

si f(x) = f(-x) pues

f(x) = 2/PI cos xy dy f(t) cos yt dt
if f(-x) = -f(x) then
f(x) = 2/PI sin xy dy sin yt dt
(Transforms) de Fourier
(Transform) Fourier Coseno

g(x) = (2/PI)f(t) cos xt dt

(Transform) Fourier Seno

g(x) = (2/PI)f(t) sin xt dt

Identidades de los (tranforms)

Si f(-x) = f(x) pues

Transform Fourier Coseno ( Tranform Fourier Coseno (f(x)) ) = f(x)
Si f(-x) = -f(x) pues
Transform Fourier Seno (Transform Fourier Seno (f(x)) ) = f(x)

ASUNTOS AVANZADOS

TABLA DE FUNCIONES

Algunas de estas funciones las he visto definidas en ambos intervalos (0 a x) y (x a inf). En ese caso, los dos varientes se dan.
gamma = la constante de Euler = 0.5772156649...
(x) = Gamma(x) = t (x-1) e -tdt (Función Gamma)
B(x,y) = t (x-1) (1-t) (y-1)dt (Función Beta)
Ei(x) = e -t/t dt (Integral Exponencial) ó una variente no eqivalente:

Ei(x) = + ln(x) + (e t - 1)/t dt = gamma + ln(x) + (n=1..inf)x n/(n*n!)
li(x) = 1/ln(t) dt (Integral del Logaritmo)
Si(x) = sen(t)/t dt (Integral del Seno) ó una variente no eqivalente:
Si(x) = sen(t)/t dt = PI/2 - sen(t)/t dt

Ci(x) = cos(t)/t dt (Integral del Coseno) ó una variente no eqivalente:
Ci(x) = - cos(t)/t dt = gamma + ln(x) + (cos(t) - 1) / t dt

Chi(x) = gamma + ln(x) + (cosh(t)-1)/t dt (Integral del Coseno Hiperbólico)
Shi(x) = senh(t)/t dt (Integral del Seno Hiperbólico)
Erf(x) = 2/PI (1/2)e (-t^2) dt = 2/PI (n=0..inf) (-1) n x (2n+1) / ( n! (2n+1) ) (Función de Error)
FresnelC(x) = cos(PI/2 t 2) dt
FresnelS(x) = sen(PI/2 t 2) dt
dilog(x) = ln(t)/(1-t) dt
Psi(x) = ln(Gamma(x))
Psi(n,x) = nth derivada de Psi(x)
W(x) = inverso de x*e x
L sub n (x) = (e x/n!)( x n e -x ) (n) (Polinomial de Laguerre, grado n; (n) significafo nth derivada)
Zeta(s) = (n=1..inf) 1/n s
Función Beta de Dirichlet B(x) = (n=0..inf) (-1) n / (2n+1) x

DENTIDADES DE INTEGRACIÓN

Definición Formal de la Integral:
f(x) dx = lim (d -> 0) (k=1..n) f(X(k)) (x(k) - x(k-1)) cuando...

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
d = max (x1-x0, x2-x1, ... , xn - x(n-1))
x(k-1) <= X(k) <= x(k) k = 1, 2, ... , n
F '(x) dx = F(b) - F(a) (Teorema Fundamental para Integrales de Derivadas)
a f(x) dx = a f(x) dx (si a es una constante)
f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx

f(x) dx = f(x) dx | (a b)

f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx

f(u) du/dx dx = f(u) du (integración por substitución)

TABLA DE INTEGRALES

Potencia de x.
xn dx = x(n+1) / (n+1) + C (n -1)
Demostración 1/x dx dx = ln|x| + C
Exponente / Logaritmo
ex dx = ex + C
Demostración bx dx = bx / ln(b) + C
Demostración
ln(x) dx = x ln(x) - x + C
Demostración
Trigonométrica
sen x dx = -cos x + C
Demostración cos x dx = sen x + C
Demostración tan x dx = -ln|cos x| + C
Demostración
csc x dx = - ln|csc x + cot x| + C sec x dx = ln|sec x + tan x| + C cot x dx = ln|sen x| + C
Resuelta Trigonométrica
cos x dx = sen x + C
Demostración sen x dx = -cos x + C
Demostración sec2 x dx = tan x + C
Demostración
csc x cot x dx = -csc x + C
Demostración sec x tan x dx = sec x + C
Demostración csc2 x dx = -cot x + C
Demostración
Trigonométrica Inversa
arcsen x dx =
1
(1-x2)
+ C

arccsc x dx =
-1
|x|(x2-1)
+ C

arccos x dx =
-1
(1-x2)
+ C

arcsec x dx =
1
|x|(x2-1)
+ C

arctan x dx =
1
1+x2
+ C

arccot x dx =
-1
1+x2
+ C

Hyperbólica
senh x dx = cosh x + C cosh x dx = senh x + C tanh x dx = ln( cosh x ) + C
csch x dx = ln( tanh(x/2) ) + C sech x dx = atan( senh x ) + C coth(x) dx = ln( senh x ) + C

CALCULO