CONSTANTES

EXPANSIONES DE PI

Descubridor: Arquímedes (287-212 BC) averiguó que 3 10/71 <>

PI = 3. 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 ...

La Fórmula de Vieta

2/PI = 2/2 * ( 2 + 2 )/2 * (2 + ( ( 2 + 2) ) )/2 * ...c

La Fómula de Leibnitz

PI/4 = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

El Producto de Wallis

PI/2 = 2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * 6/7 * ...

2/PI = (1 - 1/2^2)(1 - 1/4^2)(1 - 1/6^2)...

La Fórmula de Lord Brouncker

4/PI = 1 +        1            ----------------            2 +     3^2                ------------                2 +   5^2                   ---------                   2 + 7^2 ... 

(PI^{^2})/8 = 1/1^{^2} + 1/3^{^2} + 1/5^{^2} + ...

(PI^{^2})/24 = 1/2^{^2} + 1/4^{^2} + 1/6^{^2} + ...

La Fórmula de Euler

(PI^{^2})/6 = (n = 1..) 1/n^{^2} = 1/1^{^2} + 1/2^{^2} + 1/3^{^2} + ...

(o mas generalmente...)

(n = 1..) 1/n^{^(2k)} = (-1)^{^(k-1)} PI^^(2k) 2^{^(2k)} B_(2k) / ( 2(2k)!)

B_(k) = el k ^th Número Bernoulli. ej. B₀=1 B₁=-1/2 B₂=1/6 B₄=-1/30 B₆=1/42 B₈=-1/30 B₁₀=5/66. Números Bernoulli adicionales se definen como (n 0)B₀ + (n 1)B₁ + (n 2)B₂ + ... + (n (n-1))B_(N-1) = 0 presumiendo que todos los Números Impares de Bernoulli >1 son = 0. (n k) = coeficiente de binómico = n!/(k!(n-k)!)

e = 2.7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 ...

e = lim _{(n -> 0)} (1 + n)^(1/n) ó e = lim _{(n -> )} (1 + 1/n)ⁿ

e = (k=0..) 1 / k!

gamma = = 0.5772156649 0153286061 ...

= lim _(n->) ( 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n - ln(n) ) = 0.5772156649...

= - e^{^-x} ln x dx

' (1) = -

i = (-1)

i^{^2} = -1

1 / i = -i

i^{^(4k)} = 1; i^{^(4k+1)} = i; i^{^(4k+2)} = -1; i^{^(4k+3)} = -i (k = un entero)

( i ) = (1/2)+ (1/2) i