LA SERIE FOURIER

La serie de fourier de la función f(x)

a(0) / 2 + (k=1..) (a(k) cos kx + b(k) sin kx)

a(k) = 1/PI f(x) cos kx dx
b(k) = 1/PI f(x) sin kx dx
El residuo de la serie de fourier. Sn(x) = la suma de los primeros n+1 términos a x.
el residuo(n) = f(x) - Sn(x) = 1/PI f(x+t) Dn(t) dt

Sn(x) = 1/PI f(x+t) Dn(t) dt

Dn(x) = Dirichlet kernel = 1/2 + cos x + cos 2x + .. + cos nx = [ sin(n + 1/2)x ] / [ 2sin(x/2) ]
Teorema de Riemann. Si f(x) es continuo a excepción de un número finito de saltos finitos en todos los intervalos finitos pues:
lim(k->) f(t) cos kt dt = lim(k->)f(t) sin kt dt = 0

La serie fourier de la función f(x) en un intervalo arbitrario.

A(0) / 2 + (k=1..) [ A(k) cos (k(PI)x / m) + B(k) (sin k(PI)x / m) ]

a(k) = 1/m f(x) cos (k(PI)x / m) dx
b(k) = 1/m f(x) sin (k(PI)x / m) dx
El Teorema de Parseval. Si f(x) es continuo; f(-PI) = f(PI) pues
1/PI f^2(x) dx = a(0)^2 / 2 + (k=1..) (a(k)^2 + b(k)^2)

La Integral Fourier de la función f(x)

f(x) = ( a(y) cos yx + b(y) sin yx ) dy

a(y) = 1/PI f(t) cos ty dt
b(y) = 1/PI f(t) sin ty dt
f(x) = 1/PI dy f(t) cos (y(x-t)) dt
Casos Espaciales de la Integral Fourier

si f(x) = f(-x) pues

f(x) = 2/PI cos xy dy f(t) cos yt dt
if f(-x) = -f(x) then
f(x) = 2/PI sin xy dy sin yt dt
(Transforms) de Fourier
(Transform) Fourier Coseno

g(x) = (2/PI)f(t) cos xt dt

(Transform) Fourier Seno

g(x) = (2/PI)f(t) sin xt dt

Identidades de los (tranforms)

Si f(-x) = f(x) pues

Transform Fourier Coseno ( Tranform Fourier Coseno (f(x)) ) = f(x)
Si f(-x) = -f(x) pues
Transform Fourier Seno (Transform Fourier Seno (f(x)) ) = f(x)